quinta-feira, 22 de maio de 2008

A magia dos números I – quebra-cabeças


Dizem alguns que não há nada mais árido ou mais frio que os números. Não é verdade. Tenho provas sobre a magia dos números. Para exemplificá-lo, o que primeiro se atravessa no meu espírito foi o que presenciei em Hong-Kong, em que só carros muito caros conseguem ter nos seus números de matrícula o 9 e o 3, porque nos leilões do governo, por esses números pagam-se fortunas. O número 14 é horrível e por isso os hóteis recusam-se a ter o piso 14 e como para os ocidentais o 13 é considerado número de azar, também não existe o piso 13, passando-se directamente do piso 12 para o 15. Tudo isso acontece devido à tradição taoista de Hong-Kong. Claro que com esta mania dos números, esta gente é louca por jogos de azar. Daí os jogos serem proibidos no território, sendo necessária uma deslocação a Macau para tentar a sorte...

Existiu.uma.polémica.a.nível.internacional.[ver http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_hall_problem], a propósito do problema de um concurso e do cálculo da probabilidade de o vencer. O concurso é simples: os concorrentes têm 3 portas fechadas. Atrás de uma das portas está um carro e nas outras duas estão cabras. O concorrente tem de adivinhar em qual das portas está o carro, da seguinte forma:
1- O locutor pede ao concorrente para escolher uma das portas. O concorrente escolhe uma das 3 portas. Por exemplo, entre as portas A, B e C, escolhe a C, deixando de fora a A e a B.
2- A porta escolhida (ex: porta C), não é aberta, permanecendo fechada.
3- O locutor, sabendo de antemão onde está o carro, dirige-se a uma das outras portas que o concorrente não escolheu, onde está uma cabra, e abre essa porta. Seria por exemplo a porta B.
4- O locutor pergunta ao concorrente se deseja manter a escolha inicial, C, ou se prefere mudar a sua escolha para a porta A.

Qual é a maior probabilidade de acertar? Manter a escolha inicial, a porta C, ou mudar para a porta A?

Sabe-se que na primeira escolha do concorrente, a probabilidade de acertar é de 1 em 3 (33%). Mas, na segunda escolha, após a abertura de uma das portas, a probabilidade de acertar é maior, de 1 em 2 (50%). Como deve agir o concorrente? Há quem defenda que na segunda decisão, optar pela porta C, já escolhida ou pela nova porta A é igual, pois existirão 50% de hipóteses, na mesma.

Outra forma de ver a questão era que sendo mais pequena a probabilidade de acertar da primeira escolha, apenas de 1 em 3, e sendo a probabilidade de errar maior, de 2 em 3, mudar de porta significava mudar a probabilidade de acertar de 1 em 3 para de 2 em 3.

Em que ficamos? Quem tem razão?

Sem ir para fórmulas vejamos, a partir do nosso exemplo em que escolhemos a porta C, por cada seis vezes que jogarmos, se todas as possibilidades são iguais, então:
- uma vez o carro está atrás da porta C e o locutor abre a porta B
- uma vez o carro está atrás da porta C e o locutor abre a porta A
- duas vezes o carro está atrás da porta B e o locutor abre a porta A
- duas vezes o carro está atrás da porta A e o locutor abre a porta B
Em cada seis vezes, só em duas o carro está atrás da porta C. Nas outras quatro situações ganha quem muda de porta. É melhor mudar!
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Porquê esta dificuldade de interessar os nossos miúdos pela Matemática? A Matemática pode ser tornada interessante, porque é interessante.
[ A propósito, parabéns para quem este ano elaborou o teste intermédio do 9º ano de Matemática. Assim é que devia ser sempre. Ver o ficheiro PDF em http://www.gave.min-edu.pt/np3/9.html ]

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